一个正方形的一边增加3cm，相邻一边减少3cm，所得矩形面积-优题课

一个正方形的一边增加3cm，相邻一边减少3cm，所得矩形面积与这个正方形的每边减去1cm所得的正方形面积相等，求这矩形的长与宽．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二元一次不定方程的应用

计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} - | - 2 | + 4 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(π - 3)}^{0}$ ．

某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级： $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图

（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为 $D$ 等的人数为　　人；

（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．

荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校 $m$ 名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请补全图中的条形图；

（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；

（4）在抽查的 $m$ 名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．

如图，直线 $l : y = kx + b (k < 0)$ 与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象相交于 $A$ 、 $C$ 两点，与 $x$ 轴相交于 $T$ 点，过 $A$ 、 $C$ 两点作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $B$ 、 $D$ ，过 $A$ 、 $C$ 两点作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ；直线 $AE$ 与 $CD$ 相交于点 $P$ ，连接 $DE$ ．设 $A$ 、 $C$ 两点的坐标分别为 $(a, \frac{4}{a})$ 、 $(c, \frac{4}{c})$ ，其中 $a > c > 0$ ．

（1）如图①，求证： $∠ EDP = ∠ ACP$ ；

（2）如图②，若 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $C$ 四点在同一圆周上，求 $k$ 的值；

（3）如图③，已知 $c = 1$ ，且点 $P$ 在直线 $BF$ 上，试问：在线段 $AT$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $OM ⊥ AM$ ？如存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 $A 4$ 的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 $\sqrt{2} : 1$ ，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形” $ABCD$ 中， $P$ 为 $DC$ 边上一定点，且 $CP = BC$ ，如图所示．

（1）如图①，求证： $BA = BP$ ；

（2）如图②，点 $Q$ 在 $DC$ 上，且 $DQ = CP$ ，若 $G$ 为 $BC$ 边上一动点，当 $ΔAGQ$ 的周长最小时，求 $\frac{CG}{GB}$ 的值；

（3）如图③，已知 $AD = 1$ ，在（2）的条件下，连接 $AG$ 并延长交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $BF$ ， $T$ 为 $BF$ 的中点， $M$ 、 $N$ 分别为线段 $PF$ 与 $AB$ 上的动点，且始终保持 $PM = BN$ ，请证明： $ΔMNT$ 的面积 $S$ 为定值，并求出这个定值．