先化简，再求值：，其中．-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5 (a \neq 0)$ 经过 $x$ 轴上的点 $A (1, 0)$ 和点 $B$ 及 $y$ 轴上的点 $C$ ，经过 $B$ 、 $C$ 两点的直线为 $y = x + n$ ．

①求抛物线的解析式．

②点 $P$ 从 $A$ 出发，在线段 $AB$ 上以每秒1个单位的速度向 $B$ 运动，同时点 $E$ 从 $B$ 出发，在线段 $BC$ 上以每秒2个单位的速度向 $C$ 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为 $t$ 秒，求 $t$ 为何值时， $ΔPBE$ 的面积最大并求出最大值．

③过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ 于点 $M$ ，过抛物线上一动点 $N$ （不与点 $B$ 、 $C$ 重合）作直线 $AM$ 的平行线交直线 $BC$ 于点 $Q$ ．若点 $A$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $N$ 的横坐标．

如图，在菱形 $ABCD$ 中，连结 $BD$ 、 $AC$ 交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $OH ⊥ BC$ 于点 $H$ ，以点 $O$ 为圆心， $OH$ 为半径的半圆交 $AC$ 于点 $M$ ．

①求证： $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

②若 $AC = 4 MC$ 且 $AC = 8$ ，求图中阴影部分的面积．

③在②的条件下， $P$ 是线段 $BD$ 上的一动点，当 $PD$ 为何值时， $PH + PM$ 的值最小，并求出最小值．

如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1}$ 、 $b$ 为常数， $k_{1} \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0$ ， $x > 0)$ 的图象交于点 $A (m, 8)$ 与点 $B (4, 2)$ ．

①求一次函数与反比例函数的解析式．

②根据图象说明，当 $x$ 为何值时， $k_{1} x + b - \frac{k_{2}}{x} < 0$ ．

某区域平面示意图如图所示，点 $D$ 在河的右侧，红军路 $AB$ 与某桥 $BC$ 互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在 $C$ 处测得点 $D$ 位于西北方向，又在 $A$ 处测得点 $D$ 位于南偏东 $65 °$ 方向，另测得 $BC = 414 m$ ， $AB = 300 m$ ，求出点 $D$ 到 $AB$ 的距离．

（参考数据 $\sin 65 ° \approx 0.91$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14)$

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 有两不相等的实数根．

①求 $m$ 的取值范围．

②设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两根且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} - 17 = 0$ ，求 $m$ 的值．