如图，已知A（，2）、B（，1），将△AOB绕着点O逆时针旋-优题课

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $DE / / BF$ ，且分别交对角线 $AC$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $BE$ ， $DF$ ．

（1）求证： $AE = CF$ ；

（2）若 $BE = DE$ ，求证：四边形 $EBFD$ 为菱形．

先化简，再求值： ${(x - 2)}^{2} - 4 x (x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1)$ ，其中 $x = - \sqrt{2}$ ．

计算： ${(- 1)}^{2} + | - \sqrt{2} | + {(π - 3)}^{0} - \sqrt{4}$ ．

已知点 $A (1, 0)$ 是抛物线 $y = a x^{2} + bx + m (a$ ， $b$ ， $m$ 为常数， $a \neq 0$ ， $m < 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点．

（Ⅰ）当 $a = 1$ ， $m = - 3$ 时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）若抛物线与 $x$ 轴的另一个交点为 $M (m, 0)$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，过点 $C$ 作直线 $l$ 平行于 $x$ 轴， $E$ 是直线 $l$ 上的动点， $F$ 是 $y$ 轴上的动点， $EF = 2 \sqrt{2}$ ．

①当点 $E$ 落在抛物线上（不与点 $C$ 重合），且 $AE = EF$ 时，求点 $F$ 的坐标；

②取 $EF$ 的中点 $N$ ，当 $m$ 为何值时， $MN$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ？

将一个直角三角形纸片 $OAB$ 放置在平面直角坐标系中，点 $O (0, 0)$ ，点 $A (2, 0)$ ，点 $B$ 在第一象限， $∠ OAB = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $P$ 在边 $OB$ 上（点 $P$ 不与点 $O$ ， $B$ 重合）．

（Ⅰ）如图①，当 $OP = 1$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $P$ ，并与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $Q$ ，且 $OQ = OP$ ，点 $O$ 的对应点为 $O^{'}$ ，设 $OP = t$ ．

①如图②，若折叠后△ $O^{'} PQ$ 与 $ΔOAB$ 重叠部分为四边形， $O^{'} P$ ， $O^{'} Q$ 分别与边 $AB$ 相交于点 $C$ ， $D$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $O^{'} D$ 的长，并直接写出 $t$ 的取值范围；

②若折叠后△ $O^{'} PQ$ 与 $ΔOAB$ 重叠部分的面积为 $S$ ，当 $1 ⩽ t ⩽ 3$ 时，求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）．