正方形的边长为，此正方形剪去四个相同的三角形，三角形的高为．-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程： $x^{2} - (t - 1) x + t - 2 = 0$ ．

（1）求证：对于任意实数 $t$ ，方程都有实数根；

（2）当 $t$ 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．

我们知道，经过原点的抛物线可以用 $y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 表示，对于这样的抛物线：

（1）当抛物线经过点 $(- 2, 0)$ 和 $(- 1, 3)$ 时，求抛物线的表达式；

（2）当抛物线的顶点在直线 $y = - 2 x$ 上时，求 $b$ 的值；

（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $\dots$ ， $A_{n}$ 在直线 $y = - 2 x$ 上，横坐标依次为 $- 1$ ， $- 2$ ， $- 3$ ， $\dots$ ， $- n (n$ 为正整数，且 $n ⩽ 12)$ ，分别过每个顶点作 $x$ 轴的垂线，垂足记为 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ ， $\dots$ ， $B_{n}$ ，以线段 $A_{n} B_{n}$ 为边向左作正方形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ，如果这组抛物线中的某一条经过点 $D_{n}$ ，求此时满足条件的正方形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ 的边长．

（1）阅读理解：如图①，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / DC$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点，若 $AE$ 是 $∠ BAD$ 的平分线，试判断 $AB$ ， $AD$ ， $DC$ 之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长 $AE$ 交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，易证 $ΔAEB ≅ ΔFEC$ ，得到 $AB = FC$ ，从而把 $AB$ ， $AD$ ， $DC$ 转化在一个三角形中即可判断．

$AB$ 、 $AD$ 、 $DC$ 之间的等量关系为　　；

（2）问题探究：如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / DC$ ， $AF$ 与 $DC$ 的延长线交于点 $F$ ， $E$ 是 $BC$ 的中点，若 $AE$ 是 $∠ BAF$ 的平分线，试探究 $AB$ ， $AF$ ， $CF$ 之间的等量关系，并证明你的结论．

（3）问题解决：如图③， $AB / / CF$ ， $AE$ 与 $BC$ 交于点 $E$ ， $BE : EC = 2 : 3$ ，点 $D$ 在线段 $AE$ 上，且 $∠ EDF = ∠ BAE$ ，试判断 $AB$ 、 $DF$ 、 $CF$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

如图，直线 $y = 2 x + 6$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于点 $A (1, m)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，平行于 $x$ 轴的直线 $y = n (0 < n < 6)$ 交反比例函数的图象于点 $M$ ，交 $AB$ 于点 $N$ ，连接 $BM$ ．

（1）求 $m$ 的值和反比例函数的表达式；

（2）直线 $y = n$ 沿 $y$ 轴方向平移，当 $n$ 为何值时， $ΔBMN$ 的面积最大？

如图， $C$ 、 $D$ 是半圆 $O$ 上的三等分点，直径 $AB = 4$ ，连接 $AD$ 、 $AC$ ， $DE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ， $DE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求 $∠ AFE$ 的度数；

（2）求阴影部分的面积（结果保留 $π$ 和根号）．