已知函数．（1）若函数在或处取得极值，试求的值；（2）在（1-优题课

已知曲线 $C_{n} : x^{2} - 2 nx + y^{2} = 0 (n = 1, 2, \dots)$ ．从点 $P (- 1, 0)$ 向曲线 $C_{n}$ 引斜率为 $k_{n} (k_{n} > 0)$ 的切线 $l_{n}$ ，切点为 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

（１）求数列 ${x_{n}} 与 {y_{n}}$ 的通项公式；

（２）证明： $x_{1} \cdot x_{3} \cdot x_{5} \cdot \dots \cdot x_{2 n - 1} < \sqrt{\frac{1 - x_{n}}{1 + x_{n}}} < \sqrt{2} \sin \frac{x_{n}}{y_{n}}$

已知二次函数 $y = g (x)$ 的导函数的图像与直线 $y = 2 x$ 平行，且 $y = g (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极小值 $m - 1 (m \neq 0)$ ．设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

（１）若曲线 $y = f (x)$ 上的点 $P$ 到点 $Q (0, 2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值；

（２） $k (k \in R)$ 如何取值时，函数 $y = f (x) - kx$ 存在零点，并求出零点．

已知曲线 $C : y = x^{2}$ 与直线 $l : x - y + 2 = 0$ 交于两点 $A (x_{A}, y_{A})$ 和 $B (x_{B}, y_{B})$ ，且 $x_{A} < x_{B}$ ．记曲线 $C$ 在点 $A$ 和点 $B$ 之间那一段 $L$ 与线段 $AB$ 所围成的平面区域（含边界）为 $D$ ．设点 $P (s, t)$ 是 $L$ 上的任一点，且点 $P$ 与点 $A$ 和点 $B$ 均不重合．

（１）若点 $Q$ 是线段 $AB$ 的中点，试求线段 $PQ$ 的中点 $M$ 的轨迹方程；

（２）若曲线 $G : x^{2} - 2 ax + y^{2} - 4 y + a^{2} + \frac{51}{25} = 0$ 与点 $D$ 有公共点，试求 $a$ 的最小值．

如下图，已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为２，点Ｅ是正方形 $BC C_{1} B_{1}$ 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点．设点 $E_{1}, G_{1}$ 分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $FGAE$ 在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F G_{1} ⊥ 平面 FE E_{1}$ ；

（３）求异面直线 $E_{1} G_{1} 与 EA$ 所成角的正弦值.

根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

对某城市一年（ 365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 $[0, 50], (50, 100], (100, 150], (150, 200], (200, 250], (250, 300]$ 进行分组，得到频率分布直方图如下图.

（1）求直方图中 $x$ 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知 $5^{7} = 78125, 2^{7} = 128, \frac{3}{1825} + \frac{2}{365} + \frac{7}{1825} + \frac{3}{1825} + \frac{8}{9125} = \frac{123}{9125}, 365 = 73 \times 5$ ）