如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上-优题课

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．

（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 坐标 $(- 3, 0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴正半轴上，且 $\sin ∠ CBO = \frac{4}{5}$ ，点 $P$ 从原点 $O$ 出发，以每秒一个单位长度的速度沿 $x$ 轴正方向移动，移动时间为 $t (0 ⩽ t ⩽ 5)$ 秒，过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线 $l$ ，直线 $l$ 扫过四边形 $OCDA$ 的面积为 $S$ ．

（1）求点 $D$ 坐标．

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式．

（3）在直线 $l$ 移动过程中， $l$ 上是否存在一点 $Q$ ，使以 $B$ 、 $C$ 、 $Q$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

为了落实党的“精准扶贫”政策， $A$ 、 $B$ 两城决定向 $C$ 、 $D$ 两乡运送肥料以支持农村生产，已知 $A$ 、 $B$ 两城共有肥料500吨，其中 $A$ 城肥料比 $B$ 城少100吨，从 $A$ 城往 $C$ 、 $D$ 两乡运肥料的费用分别为20元 $/$ 吨和25元 $/$ 吨；从 $B$ 城往 $C$ 、 $D$ 两乡运肥料的费用分别为15元 $/$ 吨和24元 $/$ 吨．现 $C$ 乡需要肥料240吨， $D$ 乡需要肥料260吨．

（1） $A$ 城和 $B$ 城各有多少吨肥料？

（2）设从 $A$ 城运往 $C$ 乡肥料 $x$ 吨，总运费为 $y$ 元，求出最少总运费．

（3）由于更换车型，使 $A$ 城运往 $C$ 乡的运费每吨减少 $a (0 < a < 6)$ 元，这时怎样调运才能使总运费最少？

如图，在 $Rt Δ BCD$ 中， $∠ CBD = 90 °$ ， $BC = BD$ ，点 $A$ 在 $CB$ 的延长线上，且 $BA = BC$ ，点 $E$ 在直线 $BD$ 上移动，过点 $E$ 作射线 $EF ⊥ EA$ ，交 $CD$ 所在直线于点 $F$ ．

（1）当点 $E$ 在线段 $BD$ 上移动时，如图（1）所示，求证： $BC - DE = \frac{\sqrt{2}}{2} DF$ ．

（2）当点 $E$ 在直线 $BD$ 上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段 $BC$ 、 $DE$ 与 $DF$ 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．甲、乙两车间各自加工大米数量 $y$ （吨 $)$ 与甲车间加工时间 $x$ （天 $)$ 之间的关系如图（1）所示；未加工大米 $w$ （吨 $)$ 与甲加工时间 $x$ （天 $)$ 之间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：

（1）甲车间每天加工大米　　吨， $a =$ 　　．

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量 $y$ （吨 $)$ 与 $x$ （天 $)$ 之间函数关系式．

（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？

为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：

（1）直接写出 $a$ 的值， $a =$ 　　，并把频数分布直方图补充完整．

（2）求扇形 $B$ 的圆心角度数．

（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？