先化简，再求值：，其中．-优题课

在线段 $AB$ 的同侧作射线 $AM$ 和 $BN$ ，若 $∠ MAB$ 与 $∠ NBA$ 的平分线分别交射线 $BN$ ， $AM$ 于点 $E$ ， $F$ ， $AE$ 和 $BF$ 交于点 $P$ ．如图，点点同学发现当射线 $AM$ ， $BN$ 交于点 $C$ ；且 $∠ ACB = 60 °$ 时，有以下两个结论：

① $∠ APB = 120 °$ ；② $AF + BE = AB$ ．

那么，当 $AM / / BN$ 时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出 $∠ APB$ 的度数，写出 $AF$ ， $BE$ ， $AB$ 长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点 $Q$ 为线段 $AE$ 上一点， $QB = 5$ ，若 $AF + BE = 16$ ，四边形 $ABEF$ 的面积为 $32 \sqrt{3}$ ，求 $AQ$ 的长．

已知函数 $y_{1} = a x^{2} + bx$ ， $y_{2} = ax + b (ab \neq 0)$ ．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_{1}$ 的图象过点 $(- 1, 0)$ ，函数 $y_{2}$ 的图象过点 $(1, 2)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

（2）若函数 $y_{2}$ 的图象经过 $y_{1}$ 的顶点．

①求证： $2 a + b = 0$ ；

②当 $1 < x < \frac{3}{2}$ 时，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小．

如图，已知四边形 $ABCD$ 和四边形 $DEFG$ 为正方形，点 $E$ 在线段 $DC$ 上，点 $A$ ， $D$ ， $G$ 在同一直线上，且 $AD = 3$ ， $DE = 1$ ，连接 $AC$ ， $CG$ ， $AE$ ，并延长 $AE$ 交 $CG$ 于点 $H$ ．

（1）求 $\sin ∠ EAC$ 的值．

（2）求线段 $AH$ 的长．

把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 $t$ （秒 $)$ 时该足球距离地面的高度 $h$ （米 $)$ 适用公式 $h = 20 t - 5 t^{2} (0 ⩽ t ⩽ 4)$ ．

（1）当 $t = 3$ 时，求足球距离地面的高度；

（2）当足球距离地面的高度为10米时，求 $t$ ；

（3）若存在实数 $t_{1}$ ， $t_{2} (t_{1} \neq t_{2})$ 当 $t = t_{1}$ 或 $t_{2}$ 时，足球距离地面的高度都为 $m$ （米 $)$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $AC$ 上， $∠ AED = ∠ B$ ，射线 $AG$ 分别交线段 $DE$ ， $BC$ 于点 $F$ ， $G$ ，且 $\frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG}$ ．

（1）求证： $ΔADF ∽ ΔACG$ ；

（2）若 $\frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AF}{FG}$ 的值．