选修4-1：几何证明选讲
如图，
是
的直径，
与相切于
，
为线段上一点，连接
、
分别交于
、
两点，连接
交于点
．
（Ⅰ）求证：
四点共圆；
（Ⅱ）若为
的三等分点且靠近，
，
，求线段
的长．
（本小题满分12分）己知函数
在
处取最小值．
（1）求
的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知
，
，
，求角C．
（本小题满分12分）．已知函数
在点
处的切线方程为
．
（1）求
的值；
（2）设
（
为自然对数的底数），求函数
在区间
上的最大值；
（3）证明：当
时，
．
（本小题满分12分）设正项数列
的前
项和为
，且满足对
（
）．
（1）求
，
，
的值；
（2）根据（1），猜想数列的通项公式
，并证明你的结论；
（3）求证：当时，
．
（本小题满分12分）如图所示，
是一个矩形花坛，其中
米，
米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛
，要求：
在
上，
在
上，对角线
过
点，且矩形的面积小于150平方米．
（1）设长为
米，矩形的面积为
平方米，试用解析式将表示成的函数，并确定函数的定义域；
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求最小面积．
（本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对
名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝
以上为“常喝”，体重超过
为“肥胖”．
| 常喝 |
不常喝 |
合计 |
|
| 肥胖 |
2 |
||
| 不肥胖 |
18 |
||
| 合计 |
30 |
已知在全部人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有
的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；
（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
参考数据：
 |
0．150 |
0．100 |
0．050 |
0．025 |
0．010 |
0．005 |
0．001 |
 |
2．072 |
2．706 |
3．841 |
5．024 |
6．635 |
7．879 |
10．828 |