计算：﹣．-优题课

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} - 2 k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求实数 $k$ 的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，存不存在这样的实数 $k$ ，使得 $| x_{1} | - | x_{2} | = \sqrt{5}$ ？若存在，求出这样的 $k$ 值；若不存在，说明理由．

先化简，再求值： $(x - 1 + \frac{3 - 3 x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x + 1}$ ，其中 $x$ 的值从不等式组 $\{\begin{matrix} 2 - x ⩽ 3 \\ 2 x - 4 < 1 \end{matrix}$ 的整数解中选取．

学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．

在相距150个单位长度的直线跑道 $AB$ 上，机器人甲从端点 $A$ 出发，匀速往返于端点 $A$ 、 $B$ 之间，机器人乙同时从端点 $B$ 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 $B$ 、 $A$ 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

（观察）

①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为　　个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为　　个单位长度；

（发现）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $x$ 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $y$ 个单位长度．兴趣小组成员发现了 $y$ 与 $x$ 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 $OP$ ，不包括点 $O$ ，如图2所示）．

① $a =$ 　　；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；

（拓展）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $x$ 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离为 $y$ 个单位长度．

若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离 $y$ 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$ 之间的距离 $x$ 的取值范围是　　．（直接写出结果）

如图，二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + 5$ 图象的顶点为 $D$ ，对称轴是直线 $l$ ，一次函数 $y = \frac{2}{5} x + 1$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，且与直线 $DA$ 关于 $l$ 的对称直线交于点 $B$ ．

（1）点 $D$ 的坐标是　　；

（2）直线 $l$ 与直线 $AB$ 交于点 $C$ ， $N$ 是线段 $DC$ 上一点（不与点 $D$ 、 $C$ 重合），点 $N$ 的纵坐标为 $n$ ．过点 $N$ 作直线与线段 $DA$ 、 $DB$ 分别交于点 $P$ 、 $Q$ ，使得 $ΔDPQ$ 与 $ΔDAB$ 相似．

①当 $n = \frac{27}{5}$ 时，求 $DP$ 的长；

②若对于每一个确定的 $n$ 的值，有且只有一个 $ΔDPQ$ 与 $ΔDAB$ 相似，请直接写出 $n$ 的取值范围　　．

（材料阅读）

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的 $⊙ O ）$ ．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 $α$ 的大小是变化的．

（实际应用）

观测点 $A$ 在图1所示的 $⊙ O$ 上，现在利用这个工具尺在点 $A$ 处测得 $α$ 为 $31 °$ ，在点 $A$ 所在子午线往北的另一个观测点 $B$ ，用同样的工具尺测得 $α$ 为 $67 °$ ． $PQ$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PQ ⊥ ON$ ．

（1）求 $∠ POB$ 的度数；

（2）已知 $OP = 6400 km$ ，求这两个观测点之间的距离即 $⊙ O$ 上 $\hat{AB}$ 的长． $(π$ 取 $3.1)$