如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正-优题课

计算： $4 \sin 60 ° + {(- 2019)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + | - 2 \sqrt{3} |$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx (a > 0)$ 过点 $E (8, 0)$ ，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在线段 $OE$ 上（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），点 $C$ 、 $D$ 在抛物线上， $∠ BAD$ 的平分线 $AM$ 交 $BC$ 于点 $M$ ，点 $N$ 是 $CD$ 的中点，已知 $OA = 2$ ，且 $OA : AD = 1 : 3$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$ 、 $G$ 分别为 $x$ 轴， $y$ 轴上的动点，顺次连接 $M$ 、 $N$ 、 $G$ 、 $F$ 构成四边形 $MNGF$ ，求四边形 $MNGF$ 周长的最小值；

（3）在 $x$ 轴下方且在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $ΔODP$ 中 $OD$ 边上的高为 $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形 $ABCD$ 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $K$ 、 $L$ ，且直线 $KL$ 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC = BC$ ， $CD$ 是 $⊙ O$ 的直径，与 $AB$ 相交于点 $G$ ，过点 $D$ 作 $EF / / AB$ ，分别交 $CA$ 、 $CB$ 的延长线于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $B D^{2} = AC \cdot BF$ ．

列方程解应用题：

某列车平均提速 $80 km / h$ ，用相同的时间，该列车提速前行驶 $300 km$ ，提速后比提速前多行驶 $200 km$ ，求该列车提速前的平均速度．

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $A (3, 2)$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，且 $OB = 4$ ．

（1）求函数 $y = \frac{m}{x}$ 和 $y = kx + b$ 的解析式；

（2）结合图象直接写出不等式组 $0 < \frac{m}{x} < kx + b$ 的解集．