已知线段AB42，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点-优题课

已知线段AB=42，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在线段AB上，且CE=AC，求线段DE的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：线段的和差线段的中点

化简求值： $(\frac{a - 1}{a} - \frac{a - 2}{a + 1}) \div \frac{2 a^{2} - a}{a^{2} + 2 a + 1}$ ；其中 $a^{2} - a - 1 = 0$ ．

计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + | 1 - \sqrt{3} \tan 45 ° | + {(π - 3.14)}^{0} - \sqrt[3]{27}$ ．

如图（1）放置两个全等的含有 $30 °$ 角的直角三角板 $ABC$ 与 $DEF (∠ B = ∠ E = 30 °)$ ，若将三角板 $ABC$ 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$ 与点 $E$ 重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一条直线上，如图（2）， $AB$ 与 $DF$ 、 $DE$ 分别交于点 $P$ 、 $M$ ， $AC$ 与 $DE$ 交于点 $Q$ ，其中 $AC = DF = \sqrt{3}$ ，设三角板 $ABC$ 移动时间为 $x$ 秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$ 的代数式表示 $ΔAMQ$ 的面积；

（2）计算 $x$ 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离 $y (m)$ 与步行时间 $x (\min)$ 之间的函数关系式如图中折线段 $AB - BC - CD$ 所示．

（1）小丽与小明出发　　 $\min$ 相遇；

（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．

①求小丽和小明步行的速度各是多少？

②计算出点 $C$ 的坐标，并解释点 $C$ 的实际意义．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $AC$ 上一点，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ，且 $CE$ 平分 $∠ ACB$ ．

（1）求证： $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $DE$ ，若 $∠ A = 30 °$ ，求 $\frac{BE}{DE}$ ．

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