如图1和图2，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}$，$\mathit{BC}=8$，$\tan C=\frac{3}{4}$．点$K$在$\mathit{AC}$边上，点$M$，$N$分别在$\mathit{AB}$，$\mathit{BC}$上，且$\mathit{AM}=\mathit{CN}=2$．点$P$从点$M$出发沿折线$\mathit{MB}-\mathit{BN}$匀速移动，到达点$N$时停止；而点$Q$在$\mathit{AC}$边上随$P$移动，且始终保持$\angle \mathit{APQ}=\angle B$．

（1）当点$P$在$\mathit{BC}$上时，求点$P$与点$A$的最短距离；

（2）若点$P$在$\mathit{MB}$上，且$\mathit{PQ}$将$\mathit{\Delta ABC}$的面积分成上下$4:5$两部分时，求$\mathit{MP}$的长；

（3）设点$P$移动的路程为$x$，当$0⩽x⩽3$及$3⩽x⩽9$时，分别求点$P$到直线$\mathit{AC}$的距离（用含$x$的式子表示）；

（4）在点$P$处设计并安装一扫描器，按定角$\angle \mathit{APQ}$扫描$\mathit{\Delta APQ}$区域（含边界），扫描器随点$P$从$M$到$B$再到$N$共用时36秒．若$\mathit{AK}=\frac{9}{4}$，请直接写出点$K$被扫描到的总时长．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 三角形综合题