我们定义：如图1，在$\mathit{\Delta ABC}$中，把$\mathit{AB}$绕点$A$顺时针旋转$\alpha (0°<\alpha <180°)$得到$A{B}^{\text{'}}$，把$\mathit{AC}$绕点$A$逆时针旋转$\beta$得到$A{C}^{\text{'}}$，连接$B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$．当$\alpha +\beta =180°$时，我们称△$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是$\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$边$B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$上的中线$\mathit{AD}$叫做$\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”，点$A$叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△$A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是$\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”， $\mathit{AD}$是$\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”．

①如图2，当$\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形时，$\mathit{AD}$与$\mathit{BC}$的数量关系为$\mathit{AD}=$　　$\mathit{BC}$；

②如图3，当$\angle \mathit{BAC}=90°$，$\mathit{BC}=8$时，则$\mathit{AD}$长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当$\mathit{\Delta ABC}$为任意三角形时，猜想$\mathit{AD}$与$\mathit{BC}$的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形$\mathit{ABCD}$，$\angle C=90°$，$\angle D=150°$，$\mathit{BC}=12$，$\mathit{CD}=2\sqrt{3}$，$\mathit{DA}=6$．在四边形内部是否存在点$P$，使$\mathit{\Delta PDC}$是$\mathit{\Delta PAB}$的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求$\mathit{\Delta PAB}$的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 平行四边形的判定与性质 几何变换综合题 全等三角形的判定与性质 矩形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 含30度角的直角三角形 四边形综合题