特例感知（1）如图1，对于抛物线y1x2x1，y2x22x1-优题课

特例感知

（1）如图1，对于抛物线 $y_{1} = - x^{2} - x + 1$ ， $y_{2} = - x^{2} - 2 x + 1$ ， $y_{3} = - x^{2} - 3 x + 1$ ，下列结论正确的序号是　　；

①抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 都经过点 $C (0, 1)$ ；

②抛物线 $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的对称轴由抛物线 $y_{1}$ 的对称轴依次向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位得到；

③抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 与直线 $y = 1$ 的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足 $y_{n} = - x^{2} - nx + 1 (n$ 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ ，用含 $n$ 的代数式表示顶点 $P_{n}$ 的坐标，并写出该顶点纵坐标 $y$ 与横坐标 $x$ 之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $\dots$ ， $C_{n}$ ，其横坐标分别为 $- k - 1$ ， $- k - 2$ ， $- k - 3$ ， $\dots$ ， $- k - n (k$ 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线 $y = 1$ 分别交“系列平移抛物线”于点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{n}$ ，连接 $C_{n} A_{n}$ ， $C_{n - 1} A_{n - 1}$ ，判断 $C_{n} A_{n}$ ， $C_{n - 1} A_{n - 1}$ 是否平行？并说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：两点间的距离公式二次函数图象与几何变换平行线的判定二次函数综合题