问题提出（1）如图①，ΔABC是等边三角形，AB12，若点O-优题课

问题提出

（1）如图①， $ΔABC$ 是等边三角形， $AB = 12$ ，若点 $O$ 是 $ΔABC$ 的内心，则 $OA$ 的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 12$ ， $AD = 18$ ，如果点 $P$ 是 $AD$ 边上一点，且 $AP = 3$ ，那么 $BC$ 边上是否存在一点 $Q$ ，使得线段 $PQ$ 将矩形 $ABCD$ 的面积平分？若存在，求出 $PQ$ 的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由 $ΔABM$ 草地和弦 $AB$ 与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在 $M$ 处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于 $∠ AMB$ （即每次喷灌时喷灌龙头由 $MA$ 转到 $MB$ ，然后再转回，这样往复喷灌． $)$ 同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出 $AB = 24 m$ ， $MB = 10 m$ ， $ΔAMB$ 的面积为 $96 m^{2}$ ；过弦 $AB$ 的中点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 交 $\hat{AB}$ 于点 $E$ ，又测得 $DE = 8 m$ ．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似三角形的判定与性质三角形的内切圆与内心等边三角形的性质圆的综合题