在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线yx22x，其顶-优题课

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题文

在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图），已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，其顶点为 $A$ ．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 $A$ 的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 的“不动点”的坐标；

②平移抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，使所得新抛物线的顶点 $B$ 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，且四边形 $OABC$ 是梯形，求新抛物线的表达式．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数的性质二次函数图象与几何变换待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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（本小题满分10分）
甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3、4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？

（本小题满分10分）
如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D，∠B = 30°．

求证：（1）AD平分∠BAC，（2）若BD = ，求B E的长．

（本小题满分9分）
先化简代数式，然后选取一个合适的值，代入求值．

如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F
两点，过点P（－1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于
点B。抛物线y＝ax²＋bx＋c经过P、B、M三点。

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的
横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；
（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，
并说明理由。

如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D
出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作
直线FG⊥DE于点G，交AB于点R。

（1）求证：AF＝AR；
（2）设点P运动的时间为t，
①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？
②如图2，连接PB。请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值。

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