如图1，AD、BD分别是ΔABC的内角∠BAC、∠ABC的平-优题课

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题文

如图1， $AD$ 、 $BD$ 分别是 $ΔABC$ 的内角 $∠ BAC$ 、 $∠ ABC$ 的平分线，过点 $A$ 作 $AE ⊥ AD$ ，交 $BD$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ E = = \frac{1}{2} ∠ C$ ；

（2）如图2，如果 $AE = AB$ ，且 $BD : DE = 2 : 3$ ，求 $\cos ∠ ABC$ 的值；

（3）如果 $∠ ABC$ 是锐角，且 $ΔABC$ 与 $ΔADE$ 相似，求 $∠ ABC$ 的度数，并直接写出 $\frac{S_{ΔADE}}{S_{ΔABC}}$ 的值．

科目数学题型解答题难度未知

知识点：三角形的角平分线、中线和高相似三角形的性质解直角三角形

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（·辽宁锦州）如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．

（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

（·辽宁锦州）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（﹣5，1），B（﹣2，3），线段CD的两个端点是C（﹣5，﹣1），D（﹣2，﹣3）．

（1）线段AB与线段CD关于直线对称，则对称轴是；
（2）平移线段AB得到线段A₁B₁，若点A的对应点A₁的坐标为（1，2），画出平移后的线段A₁B₁，并写出点B₁的坐标为．

（·辽宁本溪）如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）

（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．

两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm²）．

（1）当点C落在边EF上时，x= cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．

（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；
（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）
（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM= ．

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