已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，-优题课

已知：如图，在 $▱ ABCD$ 中，延长 $AB$ 至点 $E$ ，延长 $CD$ 至点 $F$ ，使得 $BE = DF$ ．连接 $EF$ ，与对角线 $AC$ 交于点 $O$ ．

求证： $OE = OF$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的性质全等三角形的判定与性质

一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同

（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；

（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．

为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了　　名市民；

（2）补全条形统计图；

（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线经过点 $D (- 2, - 3)$ 和点 $E (3, 2)$ ，点 $P$ 是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线 $DE$ 和抛物线的表达式；

（2）在 $y$ 轴上取点 $F (0, 1)$ ，连接 $PF$ ， $PB$ ，当四边形 $OBPF$ 的面积是7时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点 $P$ 在抛物线对称轴的右侧时，直线 $DE$ 上存在两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 的上方），且 $MN = 2 \sqrt{2}$ ，动点 $Q$ 从点 $P$ 出发，沿 $P \to M \to N \to A$ 的路线运动到终点 $A$ ，当点 $Q$ 的运动路程最短时，请直接写出此时点 $N$ 的坐标．

思维启迪：

（1）如图1， $A$ ， $B$ 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 $A$ ， $B$ 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 $B$ 点的点 $C$ ，连接 $BC$ ，取 $BC$ 的中点 $P$ （点 $P$ 可以直接到达 $A$ 点），利用工具过点 $C$ 作 $CD / / AB$ 交 $AP$ 的延长线于点 $D$ ，此时测得 $CD = 200$ 米，那么 $A$ ， $B$ 间的距离是　200　米．

思维探索：

（2）在 $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $AC = BC$ ， $AE = DE$ ，且 $AE < AC$ ， $∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ，将 $ΔADE$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转，把点 $E$ 在 $AC$ 边上时 $ΔADE$ 的位置作为起始位置（此时点 $B$ 和点 $D$ 位于 $AC$ 的两侧），设旋转角为 $α$ ，连接 $BD$ ，点 $P$ 是线段 $BD$ 的中点，连接 $PC$ ， $PE$ ．

①如图2，当 $ΔADE$ 在起始位置时，猜想： $PC$ 与 $PE$ 的数量关系和位置关系分别是　　；

②如图3，当 $α = 90 °$ 时，点 $D$ 落在 $AB$ 边上，请判断 $PC$ 与 $PE$ 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

③当 $α = 150 °$ 时，若 $BC = 3$ ， $DE = 1$ ，请直接写出 $P C^{2}$ 的值．

在平面直角坐标系中，直线 $y = kx + 4 (k \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A (8, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

（1） $k$ 的值是　　；

（2）点 $C$ 是直线 $AB$ 上的一个动点，点 $D$ 和点 $E$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上．

①如图，点 $E$ 为线段 $OB$ 的中点，且四边形 $OCED$ 是平行四边形时，求 $▱ OCED$ 的周长；

②当 $CE$ 平行于 $x$ 轴， $CD$ 平行于 $y$ 轴时，连接 $DE$ ，若 $ΔCDE$ 的面积为 $\frac{33}{4}$ ，请直接写出点 $C$ 的坐标．