阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德$·$欧拉$\left(\mathit{LeonhardEuler}\right)$是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在$\mathit{\Delta ABC}$中，$R$和$r$分别为外接圆和内切圆的半径，$O$和$I$分别为其中外心和内心，则$O{I}^2=R^2-2\mathit{Rr}$．

如图1，$\odot O$和$\odot I$分别是$\mathit{\Delta ABC}$的外接圆和内切圆，$\odot I$与$\mathit{AB}$相切分于点$F$，设$\odot O$的半径为$R$，$\odot I$的半径为$r$，外心$O$（三角形三边垂直平分线的交点）与内心$I$（三角形三条角平分线的交点）之间的距离$\mathit{OI}=d$，则有$d^2=R^2-2\mathit{Rr}$．

下面是该定理的证明过程（部分）$:$

延长$\mathit{AI}$交$\odot O$于点$D$，过点$I$作$\odot O$的直径$\mathit{MN}$，连接$\mathit{DM}$，$\mathit{AN}$．

$\because \angle D=\angle N$，$\angle \mathit{DMI}=\angle \mathit{NAI}$（同弧所对的圆周角相等）．

$\therefore \mathit{\Delta MDI}\backsim \mathit{\Delta ANI}$．$\therefore \frac{\mathit{IM}}{\mathit{IA}}=\frac{\mathit{ID}}{\mathit{IN}}$，$\therefore \mathit{IA}·\mathit{ID}=\mathit{IM}·\mathit{IN}$，①

如图2，在图1（隐去$\mathit{MD}$，$\mathit{AN})$的基础上作$\odot O$的直径$\mathit{DE}$，连接$\mathit{BE}$，$\mathit{BD}$，$\mathit{BI}$，$\mathit{IF}$．

$\because \mathit{DE}$是$\odot O$的直径，所以$\angle \mathit{DBE}=90°$．

$\because \odot I$与$\mathit{AB}$相切于点$F$，所以$\angle \mathit{AFI}=90°$，

$\therefore \angle \mathit{DBE}=\angle \mathit{IFA}$．

$\because \angle \mathit{BAD}=\angle E$（同弧所对的圆周角相等），

$\therefore \mathit{\Delta AIF}\backsim \mathit{\Delta EDB}$，

$\therefore \frac{\mathit{IA}}{\mathit{DE}}=\frac{\mathit{IF}}{\mathit{BD}}$．

$\therefore \mathit{IA}·\mathit{BD}=\mathit{DE}·\mathit{IF}$②

任务：（1）观察发现：$\mathit{IM}=R+d$，$\mathit{IN}=$　$R-d$　（用含$R$，$d$的代数式表示）；

（2）请判断$\mathit{BD}$和$\mathit{ID}$的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若$\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的半径为$5\mathit{cm}$，内切圆的半径为$2\mathit{cm}$，则$\mathit{\Delta ABC}$的外心与内心之间的距离为　　$\mathit{cm}$．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 圆周角定理 三角形的外接圆与外心 三角形的内切圆与内心 圆的综合题