如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，对称轴与$x$轴交于点$D$，点$E(4,n)$在抛物线上．

（1）求直线$\mathit{AE}$的解析式；

（2）点$P$为直线$\mathit{CE}$下方抛物线上的一点，连接$\mathit{PC}$，$\mathit{PE}$．当$\mathit{\Delta PCE}$的面积最大时，连接$\mathit{CD}$，$\mathit{CB}$，点$K$是线段$\mathit{CB}$的中点，点$M$是$\mathit{CP}$上的一点，点$N$是$\mathit{CD}$上的一点，求$\mathit{KM}+\mathit{MN}+\mathit{NK}$的最小值；

（3）点$G$是线段$\mathit{CE}$的中点，将抛物线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$沿$x$轴正方向平移得到新抛物线$y\text{'}$，$y\text{'}$经过点$D$，$y\text{'}$的顶点为点$F$．在新抛物线$y\text{'}$的对称轴上，是否存在点$Q$，使得$\mathit{\Delta FGQ}$为等腰三角形？若存在，直接写出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 轴对称的性质 二次函数图象与几何变换 待定系数法求一次函数解析式 轴对称-最短路线问题 二次函数综合题 等腰三角形的性质