如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的-优题课

2021年7月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求 $m ， n$ 的值并把条形统计图补充完整；

（2）若该校有 $2000$ 名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？

（3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议．

如图，点 $C$ 在 $B D$ 上， $A B ⊥ B D ， E D ⊥ B D ， A C ⊥ C E ， A B ＝ C D$ ．求证： $△ A B C ≌ △ C D E$ ．

在平面直角坐标系内有三点 $A （ ﹣ 1 ， 4 ）、 B （ ﹣ 3 ， 2 ）、 C （ 0 ， 6 ）$ ．

（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；

（2）判断 $A 、 B 、 C$ 三点是否在同一直线上，并说明理由．

如图1，平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c （ a ＜ 0 ）$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B （ 1 ， 0 ）$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴为直线 $x ＝ ﹣ 1$ ，且 $O A ＝ O C$ ， $P$ 为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，连接 $A C$ ，当点 $P$ 在直线 $A C$ 上方时，求四边形 $P A B C$ 面积的最大值，并求出此时 $P$ 点的坐标；

（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当 $P ， M$ 运动时，在坐标轴上是否存在点 $N$ ，使四边形 $P M C N$ 为矩形？若存在，直接写出点 $P$ 及其对应点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $（ a + b + c ） d ＝ a d + b d + c d$

公式②： $（ a + b ）（ c + d ）＝ a c + a d + b c + b d$

公式③： $（ a ﹣ b ）^{2} ＝ a^{2} ﹣ 2 a b + b^{2}$

公式④： $（ a + b ）^{2} ＝ a^{2} + 2 a b + b^{2}$

图1对应公式＿＿＿＿＿，图2对应公式＿＿＿＿＿，图3对应公式＿＿＿＿＿，图4对应公式＿＿＿＿＿．

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $（ a + b ）（ a ﹣ b ）＝ a^{2} ﹣ b^{2}$ 的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C ＝ 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 为边 $A C$ 上任意一点（不与端点重合），过点 $E$ 作 $E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，作 $E H ⊥ A D$ 于点 $H$ ，过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ 交 $E G$ 的延长线于点 $F$ ．记 $△ B F G$ 与 $△ C E G$ 的面积之和为 $S_{1}$ ， $△ A B D$ 与 $△ A E H$ 的面积之和为 $S_{2}$ ．

①若 $E$ 为边 $A C$ 的中点，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为＿＿＿＿＿；

②若 $E$ 不为边 $A C$ 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．