如图，在平面直角坐标系中，点$A$在抛物线$y=-x^2+4x$上，且横坐标为1，点$B$与点$A$关于抛物线的对称轴对称，直线$\mathit{AB}$与$y$轴交于点$C$，点$D$为抛物线的顶点，点$E$的坐标为$(1,1)$．

（1）求线段$\mathit{AB}$的长；

（2）点$P$为线段$\mathit{AB}$上方抛物线上的任意一点，过点$P$作$\mathit{AB}$的垂线交$\mathit{AB}$于点$H$，点$F$为$y$轴上一点，当$\mathit{\Delta PBE}$的面积最大时，求$\mathit{PH}+\mathit{HF}+\frac{1}{2}\mathit{FO}$的最小值；

（3）在（2）中，$\mathit{PH}+\mathit{HF}+\frac{1}{2}\mathit{FO}$取得最小值时，将$\mathit{\Delta CFH}$绕点$C$顺时针旋转$60°$后得到△$\mathit{CF}\text{'}H\text{'}$，过点$F^{\text{'}}$作$\mathit{CF}\text{'}$的垂线与直线$\mathit{AB}$交于点$Q$，点$R$为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点$S$，使以点$D$，$Q$，$R$，$S$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点$S$的坐标，若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 二次函数图象上点的坐标特征 菱形的判定与性质 二次函数综合题