如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度-优题课

如图1为放置在水平桌面 $l$ 上的台灯，底座的高 $AB$ 为 $5 cm$ ，长度均为 $20 cm$ 的连杆 $BC$ ， $CD$ 与 $AB$ 始终在同一平面上．

（1）转动连杆 $BC$ ， $CD$ ，使 $∠ BCD$ 成平角， $∠ ABC = 150 °$ ，如图2，求连杆端点 $D$ 离桌面 $l$ 的高度 $DE$ ．

（2）将（1）中的连杆 $CD$ 再绕点 $C$ 逆时针旋转，使 $∠ BCD = 165 °$ ，如图3，问此时连杆端点 $D$ 离桌面 $l$ 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到 $0.1 cm$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用

如图， $AC = 8$ ，分别以 $A$ 、 $C$ 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点 $B$ 和 $D$ ．依次连接 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$ ．

（1）判断四边形 $ABCD$ 的形状并说明理由；

（2）求 $BD$ 的长．

2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强 $- -$ 国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．

第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ 表示）；

第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ 表示）．

（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；

（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．

如图， $AB = DE$ ， $BF = EC$ ， $∠ B = ∠ E$ ，求证： $AC / / DF$ ．

已知：抛物线 $y = a x^{2} + 4 ax + m (a > 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 1, 0)$

（1）求抛物线与 $x$ 轴的另一个交点 $B$ 的坐标；

（2）点 $D$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点，点 $C$ 是抛物线上的一个点，且以 $AB$ 为一底的梯形 $ABCD$ 的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）点 $E$ 是第二象限内到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离比为 $5 : 2$ 的点，如果点 $E$ 在（2）中的抛物线上且点 $E$ 与点 $A$ 在此抛物线对称轴的同侧．问：在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $ΔAPE$ 的周长最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，在正方形 $ABCD$ 和 $ΔEFG$ 中， $AB = EF = EG = 5 cm$ ， $FG = 8 cm$ ，点 $B$ 、 $C$ 、 $F$ 、 $G$ 在同一直线 $l$ 上．当点 $C$ 、 $F$ 重合时， $ΔEFG$ 以 $1 cm / s$ 的速度沿直线 $l$ 向左开始运动， $t$ 秒后正方形 $ABCD$ 与 $ΔEFG$ 重合部分的面积为 $Sc m^{2}$ ．请解答下列问题：

（1）当 $t = 3$ 秒时，求 $S$ 的值；

（2）当 $t = 5$ 秒时，求 $S$ 的值；

（3）当5秒 $< t ⩽ 8$ 秒时，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并求出 $S$ 的最大值．

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