如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc经过原点O，顶-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过原点 $O$ ，顶点为 $A (2, - 4)$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点 $P$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的对称轴上的一点，点 $Q$ 在该抛物线上，当四边

形 $OAQP$ 为菱形时，求出点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 在第一象限的图象上是否存在一点 $M$ ，使得点 $M$ 到直线 $OP$ 的距离与其到 $x$ 轴的距离相等？若存在，求出直线 $OM$ 的函数解析式；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：一次函数的性质解直角三角形待定系数法求二次函数解析式菱形的性质二次函数综合题

灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：

方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上， $D F ∥ E G, C G ⊥ A F, F G ＝ D E$ ）．

数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离 $D E ＝ 1.5 m, ∠ C A F ＝ 26.6 °, ∠ C B F ＝ 35 °$ ．

问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．

参考数据： $\sin 26.6 ° \approx 0.45, \cos 26.6 ° \approx 0.89, \tan 26.6 ° \approx 0.50, \sin 35 ° \approx 0.57, \cos 35 ° \approx 0.82, \tan 35 ° \approx 0.70$ ．

根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：

原文

释义

甲乙丙为定直角．

以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；

以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；

再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；

乙与己及庚相连作线．

如图2，∠ABC为直角，

以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；

以点D为圆心，以BD长为半径画弧与 $\hat{DE}$ 交于点F；

再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与 $\hat{DE}$ 交于点G；

作射线BF，BG．

（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）根据（1）完成的图，直接写出 $∠ D B G, ∠ G B F, ∠ F B E$ 的大小关系．

如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D ＝ 120 °$ ， $A B ＝ 6$ ，连接 $B D$ ．

（1）求 $B D$ 的长；

（2）点E为线段 $B D$ 上一动点（不与点B，D重合），点 $F$ 在边 $A D$ 上，且 $B E = \sqrt{3} D F$ ．

①当 $C E ⊥ A B$ 时，求四边形 $A B E F$ 的面积；

②当四边形 $A B E F$ 的面积取得最小值时， $C E + \sqrt{3} C F$ 的值是否也最小？如果是，求 $C E + \sqrt{3} C F$ 的最小值；如果不是，请说明理由．

已知直线 $l ： y ＝ k x + b$ 经过点 $（ 0, 7 ）$ 和点 $（ 1, 6 ）$ ．

（1）求直线 $l$ 的解析式；

（2）若点 $P （ m, n ）$ 在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点 $（ 0, ﹣ 3 ）$ ，且开口向下．

①求m的取值范围；

②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点 $Q'$ 也在G上时，求G在 $\frac{4 m}{5} \leq x \leq \frac{4 m}{5} + 1$ 的图象的最高点的坐标．

某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， $C D ＝ 1.6 m, B C ＝ 5 C D$ ．

（1）求 $B C$ 的长；

（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．

条件①： $C E ＝ 1.0 m$ ；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角 $α$ 为 $54.46 °$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．

参考数据： $\sin 54.46 ° \approx 0.81, \cos 54.46 ° \approx 0.58, \tan 54.46 ° \approx 1.40$ ．