两条抛物线C1:y13x26x1与C2:y2x2mxn的顶点-优题课

两条抛物线 $C_{1} : y_{1} = 3 x^{2} - 6 x - 1$ 与 $C_{2} : y_{2} = x^{2} - mx + n$ 的顶点相同．

（1）求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

（2）点 $A$ 是抛物线 $C_{2}$ 在第四象限内图象上的一动点，过点 $A$ 作 $AP ⊥ x$ 轴， $P$ 为垂足，求 $AP + OP$ 的最大值；

（3）设抛物线 $C_{2}$ 的顶点为点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 1, - 4)$ ，问在 $C_{2}$ 的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使线段 $QB$ 绕点 $Q$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $QB'$ ，且点 $B'$ 恰好落在抛物线 $C_{2}$ 上？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征二次函数综合题

在直角坐标系中，设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1}$ 是常数， $k_{1} > 0$ ， $x > 0)$ 与函数 $y_{2} = k_{2} x (k_{2}$ 是常数， $k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $A$ ，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为点 $B$ ．

（1）若点 $B$ 的坐标为 $(- 1, 2)$ ，

①求 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的值；

②当 $y_{1} < y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围；

（2）若点 $B$ 在函数 $y_{3} = \frac{k_{3}}{x} (k_{3}$ 是常数， $k_{3} \neq 0)$ 的图象上，求 $k_{1} + k_{3}$ 的值．

在① $AD = AE$ ，② $∠ ABE = ∠ ACD$ ，③ $FB = FC$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = ∠ ACB$ ，点 $D$ 在 $AB$ 边上（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $E$ 在 $AC$ 边上（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），连接 $BE$ ， $CD$ ， $BE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$ ．若　 ① $AD = AE ($ ② $∠ ABE = ∠ ACD$ 或 ③ $FB = FC)$ 　，求证： $BE = CD$ ．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．

某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表

组别（次 $)$	频数
$100 ~ 130$	48
$130 ~ 160$	96
$160 ~ 190$	$a$
$190 ~ 220$	72

（1）求 $a$ 的值；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．

以下是圆圆解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 (1 + x) > - 1 ① \\ - (1 - x) > - 2 ② \end{matrix}$ 的解答过程：

解：由①，得 $2 + x > - 1$ ，

所以 $x > - 3$ ．

由②，得 $1 - x > 2$ ，

所以 $- x > 1$ ，

所以 $x > - 1$ ．

所以原不等式组的解是 $x > - 1$ ．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + bx + c$ 经过点 $(0, - 2)$ ，当 $x < - 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x > - 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．设 $r$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m = \frac{r^{9} + r^{7} - 2 r^{5} + r^{3} + r - 1}{r^{9} + 60 r^{5} - 1}$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）求证： $r^{4} - 2 r^{2} + 1 = 60 r^{2}$ ；

（3）以下结论： $m < 1$ ， $m = 1$ ， $m > 1$ ，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．