某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：商-优题课

某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

商品	甲	乙
进价（元 $/$ 件）	$x + 60$	$x$
售价（元 $/$ 件）	200	100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为 $a$ 件 $(a ⩾ 30)$ ，设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $a$ 之间的函数关系式，并求出 $w$ 的最小值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：分式方程的应用一次函数的应用

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，正比例函数 $y = kx (k \neq 0)$ 和二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + 3$ 的图象都经过点 $A (4, 3)$ 和点 $B$ ，过点 $A$ 作 $OA$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $C$ ． $D$ 是线段 $AB$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 不重合）， $E$ 是射线 $AC$ 上一点，且 $AE = OD$ ，连接 $DE$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $F$ ，以 $DE$ 、 $DF$ 为邻边作 $▱ DEGF$ ．

（1）填空： $k =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）设点 $D$ 的横坐标是 $t (t > 0)$ ，连接 $EF$ ．若 $∠ FGE = ∠ DFE$ ，求 $t$ 的值；

（3）过点 $F$ 作 $AB$ 的垂线交线段 $DE$ 于点 $P$ 若 $S_{ΔDFP} = \frac{1}{3} S_{▱ DEGF}$ ，求 $OD$ 的长．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于 $A$ 、 $A'$ 两点，若在 $y$ 轴上存在点 $T$ ，使得 $∠ ATA' = 90 °$ ，且 $TA = TA'$ ，则称 $A$ 、 $A'$ 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 $M (- 2, 0)$ 、 $N (- 1, 0)$ ，点 $Q (m, n)$ 在一次函数 $y = - 2 x + 1$ 的图象上．

（1）①如图，在点 $B (2, 0)$ 、 $C (0, - 1)$ 、 $D (- 2, - 2)$ 中，点 $M$ 的关联点是　 $B$ 　（填" $B$ "、" $C$ "或" $D$ " $)$ ；

②若在线段 $MN$ 上存在点 $P (1, 1)$ 的关联点 $P'$ ，则点 $P'$ 的坐标是　　；

（2）若在线段 $MN$ 上存在点 $Q$ 的关联点 $Q'$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

（3）分别以点 $E (4, 2)$ 、 $Q$ 为圆心，1为半径作 $⊙ E$ 、 $⊙ Q$ ．若对 $⊙ E$ 上的任意一点 $G$ ，在 $⊙ Q$ 上总存在点 $G'$ ，使得 $G$ 、 $G'$ 两点互相关联，请写出点 $Q$ 的坐标．

【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是"数形结合"思想的典型应用．

【理解】

（1）如图1， $AC ⊥ BC$ ， $CD ⊥ AB$ ，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ， $E$ 是 $AB$ 的中点，连接 $CE$ ．已知 $AD = a$ ， $BD = b (0 < a < b)$ ．

①分别求线段 $CE$ 、 $CD$ 的长（用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示）；

②比较大小： $CE$ 　　 $CD$ （填" $<$ "、" $=$ "或" $>$ " $)$ ，并用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示该大小关系．

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $M$ 、 $N$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，横坐标分别为 $m$ 、 $n$ ．设 $p = m + n$ ， $q = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ，记 $l = \frac{1}{4} pq$ ．

①当 $m = 1$ ， $n = 2$ 时， $l =$ 　　；当 $m = 3$ ， $n = 3$ 时， $l =$ 　　；

②通过归纳猜想，可得 $l$ 的最小值是　　．请根据图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + b$ 的图象分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $C$ ，连接 $OC$ ．已知点 $A (- 4, 0)$ ， $AB = 2 BC$ ．

（1）求 $b$ 、 $k$ 的值；

（2）求 $ΔAOC$ 的面积．

为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？