如图，顶点为M的抛物线yax2bx3与x轴交于A(1,0)，-优题课

如图，顶点为 $M$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ y$ 轴交抛物线于另一点 $D$ ，作 $DE ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ，双曲线 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 经过点 $D$ ，连接 $MD$ ， $BD$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $N$ ， $F$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴上的两点，当以 $M$ ， $D$ ， $N$ ， $F$ 为顶点的四边形周长最小时，求出点 $N$ ， $F$ 的坐标；

（3）动点 $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $OC$ 方向运动，运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $∠ BPD$ 的度数最大？（请直接写出结果）

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆周角定理待定系数法求二次函数解析式三角形的外接圆与外心翻折变换（折叠问题）切线的判定二次函数综合题

抛物线 $y = - x^{2} + 4 ax + b (a > 0)$ 与 $x$ 轴相交于 $O$ 、 $A$ 两点（其中 $O$ 为坐标原点），过点 $P (2, 2 a)$ 作直线 $PM ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，交抛物线于点 $B$ ，点 $B$ 关于抛物线对称轴的对称点为 $C$ （其中 $B$ 、 $C$ 不重合），连接 $AP$ 交 $y$ 轴于点 $N$ ，连接 $BC$ 和 $PC$ ．

（1） $a = \frac{3}{2}$ 时，求抛物线的解析式和 $BC$ 的长；

（2）如图 $a > 1$ 时，若 $AP ⊥ PC$ ，求 $a$ 的值；

（3）是否存在实数 $a$ ，使 $\frac{AP}{PN} = \frac{1}{2}$ ？若存在，求出 $a$ 的值，如不存在，请说明理由．

已知矩形 $ABCD$ 的一条边 $AD = 8$ ，将矩形 $ABCD$ 折叠，使得顶点 $B$ 落在 $CD$ 边上的 $P$ 点处

（Ⅰ）如图1，已知折痕与边 $BC$ 交于点 $O$ ，连接 $AP$ 、 $OP$ 、 $OA$ ．若 $ΔOCP$ 与 $ΔPDA$ 的面积比为 $1 : 4$ ，求边 $CD$ 的长．

（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 $AO$ 、线段 $OP$ ，连接 $BP$ ．动点 $M$ 在线段 $AP$ 上（点 $M$ 与点 $P$ 、 $A$ 不重合），动点 $N$ 在线段 $AB$ 的延长线上，且 $BN = PM$ ，连接 $MN$ 交 $PB$ 于点 $F$ ，作 $ME ⊥ BP$ 于点 $E$ ．试问当动点 $M$ 、 $N$ 在移动的过程中，线段 $EF$ 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段 $EF$ 的长度．

如图，已知 $A (- 4, n)$ ， $B (2, - 4)$ 是一次函数 $y = kx + b$ 和反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出方程 $kx + b - \frac{m}{x} = 0$ 的解；

（3）求 $ΔAOB$ 的面积；

（4）观察图象，直接写出不等式 $kx + b - \frac{m}{x} < 0$ 的解集．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AC$ 为直径，弦 $BD = BA$ ， $BE ⊥ DC$ 交 $DC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ 1 = ∠ BAD$ ；

（2）求证： $BE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

我市开展“美丽自贡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；

（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？

（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．