如图，二次函数$y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B(3,0)$，与$y$轴交于点$N$，以$\mathit{AB}$为边在$x$轴上方作正方形$\mathit{ABCD}$，点$P$是$x$轴上一动点，连接$\mathit{CP}$，过点$P$作$\mathit{CP}$的垂线与$y$轴交于点$E$．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点$P$在线段$\mathit{OB}$（点$P$不与$O$、$B$重合）上运动至何处时，线段$\mathit{OE}$的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点$M$，连接$\mathit{MN}$、$\mathit{MB}$．请问：$\mathit{\Delta MBN}$的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点$M$的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 相似三角形的判定与性质 二次函数综合题