如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $AB$ 、 $AC$ 的中点，连接 $CD$ ，过 $E$ 作 $EF / / DC$ 交 $BC$ 的延长线于 $F$ ．

（1）证明：四边形 $CDEF$ 是平行四边形；

（2）若四边形 $CDEF$ 的周长是 $25 cm$ ， $AC$ 的长为 $5 cm$ ，求线段 $AB$ 的长度．

九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．

类别	频数（人数）	频率
小说	16
戏剧	4
散文	$a$
其他	$b$
合计		1

根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）直接写出 $a$ ， $b$ ， $m$ 的值；

（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．

如图，一艘轮船位于灯塔 $P$ 的北偏东 $60 °$ 方向，与灯塔 $P$ 的距离为80海里的 $A$ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $45 °$ 方向的 $B$ 处，求此时轮船所在的 $B$ 处与灯塔 $P$ 的距离．（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.449$ ，结果保留整数）

如图，抛物线 $C_{1} : y = x^{2} - 2 x$ 与抛物线 $C_{2} : y = a x^{2} + bx$ 开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$ ， $C$ 两点，且分别与 $x$ 轴的正半轴交于点 $B$ ，点 $A$ ， $OA = 2 OB$ ．

（1）求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

（2）在抛物线 $C_{2}$ 的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $PA + PC$ 的值最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$ 是直线 $OC$ 上方抛物线 $C_{2}$ 上的一个动点，连接 $MO$ ， $MC$ ， $M$ 运动到什么位置时， $ΔMOC$ 面积最大？并求出最大面积．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ，且 $AC = BD$ ，连接 $AD$ ， $BC$ ．

（1）求证： $ΔADB ≅ ΔBCA$ ；

（2）若 $OD ⊥ AC$ ， $AB = 4$ ，求弦 $AC$ 的长；

（3）在（2）的条件下，延长 $AB$ 至点 $P$ ，使 $BP = 2$ ，连接 $PC$ ．求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线．