九年级一班开展了读一本好书的活动，班委会对学生阅读书籍的情况-优题课

题文

九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．

类别	频数（人数）	频率
小说	16
戏剧	4
散文	$a$
其他	$b$
合计		1

根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）直接写出 $a$ ， $b$ ， $m$ 的值；

（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：列表法与树状图法频数（率）分布表扇形统计图

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（1）化简： $\frac{2}{m^{2} - m} \div \frac{1}{m - 1}$ ；

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} x + 3 > 1 \\ 5 x ⩽ 6 + 3 x \end{matrix}$

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C : y = a x^{2} + 2 x - 1 (a \neq 0)$ 和直线 $l : y = kx + b$ ，点 $A (- 3, - 3)$ ， $B (1, - 1)$ 均在直线 $l$ 上．

（1）若抛物线 $C$ 与直线 $l$ 有交点，求 $a$ 的取值范围；

（2）当 $a = - 1$ ，二次函数 $y = a x^{2} + 2 x - 1$ 的自变量 $x$ 满足 $m ⩽ x ⩽ m + 2$ 时，函数 $y$ 的最大值为 $- 4$ ，求 $m$ 的值；

（3）若抛物线 $C$ 与线段 $AB$ 有两个不同的交点，请直接写出 $a$ 的取值范围．

已知 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $DB$ ， $DC$ ．

（1）如图①，当 $∠ BAC = 120 °$ 时，请直接写出线段 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ 之间满足的等量关系式：　 $AB + AC = AD$ 　；

（2）如图②，当 $∠ BAC = 90 °$ 时，试探究线段 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ 之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若 $BC = 5$ ， $BD = 4$ ，求 $\frac{AD}{AB + AC}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $OABC$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (12, 0)$ ， $B (8, 6)$ ， $C (0, 6)$ ．动点 $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒3个单位长度的速度沿边 $OA$ 向终点 $A$ 运动；动点 $Q$ 从点 $B$ 同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边 $BC$ 向终点 $C$ 运动．设运动的时间为 $t$ 秒， $P Q^{2} = y$ ．

（1）直接写出 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式及 $t$ 的取值范围：　　；

（2）当 $PQ = 3 \sqrt{5}$ 时，求 $t$ 的值；

（3）连接 $OB$ 交 $PQ$ 于点 $D$ ，若双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 经过点 $D$ ，问 $k$ 的值是否变化？若不变化，请求出 $k$ 的值；若变化，请说明理由．

如图， $E$ ， $F$ 分别是正方形 $ABCD$ 的边 $CB$ ， $DC$ 延长线上的点，且 $BE = CF$ ，过点 $E$ 作 $EG / / BF$ ，交正方形外角的平分线 $CG$ 于点 $G$ ，连接 $GF$ ．求证：

（1） $AE ⊥ BF$ ；

（2）四边形 $BEGF$ 是平行四边形．

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