操作体验：如图，在矩形$\mathit{ABCD}$中，点$E$、$F$分别在边$\mathit{AD}$、$\mathit{BC}$上，将矩形$\mathit{ABCD}$沿直线$\mathit{EF}$折叠，使点$D$恰好与点$B$重合，点$C$落在点$C\text{'}$处．点$P$为直线$\mathit{EF}$上一动点（不与$E$、$F$重合），过点$P$分别作直线$\mathit{BE}$、$\mathit{BF}$的垂线，垂足分别为点$M$和$N$，以$\mathit{PM}$、$\mathit{PN}$为邻边构造平行四边形$\mathit{PMQN}$．

（1）如图1，求证：$\mathit{BE}=\mathit{BF}$；

（2）特例感知：如图2，若$\mathit{DE}=5$，$\mathit{CF}=2$，当点$P$在线段$\mathit{EF}$上运动时，求平行四边形$\mathit{PMQN}$的周长；

（3）类比探究：若$\mathit{DE}=a$，$\mathit{CF}=b$．

①如图3，当点$P$在线段$\mathit{EF}$的延长线上运动时，试用含$a$、$b$的式子表示$\mathit{QM}$与$\mathit{QN}$之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点$P$在线段$\mathit{FE}$的延长线上运动时，请直接用含$a$、$b$的式子表示$\mathit{QM}$与$\mathit{QN}$之间的数量关系．（不要求写证明过程）

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 平行四边形的性质 翻折变换（折叠问题） 矩形的判定与性质 等腰三角形的性质 四边形综合题