《人民日报》点赞湖北宜昌智慧停车平台．作为全国智慧城市试点，-优题课

《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我市通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）．

（1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费　　元．若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则停车场按　　小时（填整数）计时收费．

（2）当 $x$ 取整数且 $x ⩾ 1$ 时，求该停车场停车费 $y$ （单位：元）关于停车计时 $x$ （单位：小时）的函数解析式．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的应用

已知：如图，在 $ΔOAB$ 中， $OA = OB$ ， $⊙ O$ 与 $AB$ 相切于点 $C$ ．求证： $AC = BC$ ．小明同学的证明过程如下框：

证明：连结 $OC$ ，

$∵ OA = OB$ ，

$∴ ∠ A = ∠ B$ ，

又 $∵ OC = OC$ ，

$∴ ΔOAC ≅ ΔOBC$ ，

$∴ AC = BC$ ．

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“ $\sqrt$ ”；若错误，请写出你的证明过程．

比较 $x^{2} + 1$ 与 $2 x$ 的大小．

（1）尝试（用“ $<$ ”，“ $=$ ”或“ $>$ ”填空） $:$

①当 $x = 1$ 时， $x^{2} + 1$ 　　 $2 x$ ；

②当 $x = 0$ 时， $x^{2} + 1$ 　　 $2 x$ ；

③当 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 1$ 　　 $2 x$ ．

（2）归纳：若 $x$ 取任意实数， $x^{2} + 1$ 与 $2 x$ 有怎样的大小关系？试说明理由．

（1）计算： ${(2020)}^{0} - \sqrt{4} + | - 3 |$ ；

（2）化简： $(a + 2) (a - 2) - a (a + 1)$ ．

如图，已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c (c > 0)$ 的顶点为 $D$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ ．过点 $C$ 的直线 $CA$ 与抛物线交于另一点 $A$ （点 $A$ 在对称轴左侧），点 $B$ 在 $AC$ 的延长线上，连结 $OA$ ， $OB$ ， $DA$ 和 $DB$ ．

（1）如图1，当 $AC / / x$ 轴时，

①已知点 $A$ 的坐标是 $(- 2, 1)$ ，求抛物线的解析式；

②若四边形 $AOBD$ 是平行四边形，求证： $b^{2} = 4 c$ ．

（2）如图2，若 $b = - 2$ ， $\frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}$ ，是否存在这样的点 $A$ ，使四边形 $AOBD$ 是平行四边形？若存在，求出点 $A$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知在 $ΔABC$ 中， $AC = BC = m$ ， $D$ 是 $AB$ 边上的一点，将 $∠ B$ 沿着过点 $D$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在 $AC$ 边的点 $P$ 处（不与点 $A$ ， $C$ 重合），折痕交 $BC$ 边于点 $E$ ．

（1）特例感知如图1，若 $∠ C = 60 °$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点，求证： $AP = \frac{1}{2} AC$ ；

（2）变式求异如图2，若 $∠ C = 90 °$ ， $m = 6 \sqrt{2}$ ， $AD = 7$ ，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 于点 $H$ ，求 $DH$ 和 $AP$ 的长；

（3）化归探究如图3，若 $m = 10$ ， $AB = 12$ ，且当 $AD = a$ 时，存在两次不同的折叠，使点 $B$ 落在 $AC$ 边上两个不同的位置，请直接写出 $a$ 的取值范围．