如图1，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $C(6,0)$ ，顶点为 $B$ ，对称轴 $x=2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $D$ 为线段 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上任意一点， $M$ 为 $x$ 轴上一动点，连接 $\mathit{MP}$ ，以点 $M$ 为中心，将 $\mathit{\Delta MPC}$ 逆时针旋转 $90°$ ，记点 $P$ 的对应点为 $E$ ，点 $C$ 的对应点为 $F$ ．当直线 $\mathit{EF}$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 只有一个交点时，求点 $M$ 的坐标．

（3） $\mathit{\Delta MPC}$ 在（2）的旋转变换下，若 $\mathit{PC}=\sqrt{2}$ （如图 $2)$ ．

①求证： $\mathit{EA}=\mathit{ED}$ ．

②当点 $E$ 在（1）所求的抛物线上时，求线段 $\mathit{CM}$ 的长．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 旋转的性质 一次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 全等三角形的判定与性质 二次函数综合题