我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“$H$函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“$H$点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于$x$的函数中，是“$H$函数”的，请在相应题目后面的括号中打“$\surd$”，不是“$H$函数”的打“$\times$”．

①$y=2x($　　$)$；

②$y=\frac{m}{x}(m\ne 0)($　　$)$；

③$y=3x-1($　　$)$．

（2）若点$A(1,m)$与点$B(n,-4)$是关于$x$的“$H$函数” $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的一对“$H$点”，且该函数的对称轴始终位于直线$x=2$的右侧，求$a$，$b$，$c$的值或取值范围．

（3）若关于$x$的“$H$函数” $y=a{x}^2+2\mathit{bx}+3c(a$，$b$，$c$是常数）同时满足下列两个条件：①$a+b+c=0$，②$(2c+b-a)(2c+b+3a)<0$，求该“$H$函数”截$x$轴得到的线段长度的取值范围．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 根与系数的关系 二次函数综合题