【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内-优题课

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $ABCD (AB > AD)$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $DC$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A'$ ，折痕为 $DE$ ，点 $E$ 在 $AB$ 上．求证：四边形 $AEA' D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A' DE$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A'$ 沿 $DC$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $PF$ ，点 $F$ 在 $DC$ 上，点 $P$ 在 $AB$ 上，那么 $ΔPQF$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $QC = QP$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $QG$ ，点 $G$ 在 $AB$ 上．要使四边形 $PGQF$ 为菱形，则 $\frac{AD}{AB} =$ 　　．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：菱形的性质矩形的性质翻折变换（折叠问题）正方形的判定与性质等边三角形的判定与性质四边形综合题