在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作-优题课

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题文

在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是射线 $BC$ 上一动点，连接 $AE$ ，过点 $B$ 作 $BF ⊥ AE$ 于点 $G$ ，交直线 $CD$ 于点 $F$ ．

（1）当矩形 $ABCD$ 是正方形时，以点 $F$ 为直角顶点在正方形 $ABCD$ 的外部作等腰直角三角形 $CFH$ ，连接 $EH$ ．

①如图1，若点 $E$ 在线段 $BC$ 上，则线段 $AE$ 与 $EH$ 之间的数量关系是　　，位置关系是　　；

②如图2，若点 $E$ 在线段 $BC$ 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（2）如图3，若点 $E$ 在线段 $BC$ 上，以 $BE$ 和 $BF$ 为邻边作平行四边形 $BEHF$ ， $M$ 是 $BH$ 中点，连接 $GM$ ， $AB = 3$ ， $BC = 2$ ，求 $GM$ 的最小值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质四边形综合题

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一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．

（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
（3）知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）

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为激励教师爱岗敬业，某市开展了“我最喜爱的老师”评选活动．某中学确定如下评选方案：有学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．

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得票数		200		300

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（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答案卷相对应的图上）
（2）王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？
（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老师？为什么？

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（1）求BC的长；
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已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
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