如图，抛物线yax294xc(a≠0)与x轴相交于点A(1,-优题课

题文

如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{9}{4} x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C (0, 3)$ ，作直线 $BC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线 $BC$ 上方的抛物线上存在点 $D$ ，使 $∠ DCB = 2 ∠ ABC$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，点 $F$ 的坐标为 $(0, \frac{7}{2})$ ，点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在直线 $BC$ 上．当以 $D$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $N$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质平行四边形的性质待定系数法求二次函数解析式相似三角形的判定与性质二次函数综合题

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（·湖北黄冈，21题，分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O 交AB 于点M，交BC 于点N，连接AN，过点C 的切线交AB 的延长线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN；
（2）求证：．

（·湖北鄂州，22题，9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．

（·湖北衡阳，26题，分）（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

（·湖南益阳）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．

（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．

（·湖南长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°<α<90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F。

（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度。

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