图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使-优题课

图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高 $175 cm$ 的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置 $O$ ，花洒的最高点 $B$ 与人的头顶的铅垂距离为 $15 cm$ ，已知龙头手柄 $OA$ 长为 $10 cm$ ，花洒直径 $AB$ 是 $8 cm$ ，龙头手柄与墙面的较小夹角 $∠ COA = 26 °$ ， $∠ OAB = 146 °$ ，则安装时，旋转头的固定点 $O$ 与地面的距离应为多少？（计算结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 26 ° \approx 0.44$ ， $\cos 26 ° \approx 0.90$ ， $\tan 26 ° \approx 0.49)$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用

如图，点 $E$ ， $F$ 分别在菱形 $ABCD$ 的边 $BC$ ， $CD$ 上，且 $BE = DF$ ．求证： $∠ BAE = ∠ DAF$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x ⩽ 6 - x, ① \\ 3 x + 1 > 2 (x - 1) \cdot ② \end{matrix}$

抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B (2, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$ 是该抛物线上的动点，且位于 $y$ 轴的左侧．

①如图1，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，作 $PE ⊥ y$ 轴于点 $E$ ，当 $PD = 2 PE$ 时，求 $PE$ 的长；

②如图2，该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ ACP = ∠ OCB$ ？若存在，请求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

四边形 $ABCD$ 是边长为2的正方形， $E$ 是 $AB$ 的中点，连结 $DE$ ，点 $F$ 是射线 $BC$ 上一动点（不与点 $B$ 重合），连结 $AF$ ，交 $DE$ 于点 $G$ ．

（1）如图1，当点 $F$ 是 $BC$ 边的中点时，求证： $ΔABF ≅ ΔDAE$ ；

（2）如图2，当点 $F$ 与点 $C$ 重合时，求 $AG$ 的长；

（3）在点 $F$ 运动的过程中，当线段 $BF$ 为何值时， $AG = AE$ ？请说明理由．

为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道 $AB$ 在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点 $P$ 处测得点 $A$ 的俯角为 $30 °$ ，继续飞行1500米到达点 $Q$ 处，测得点 $B$ 的俯角为 $45 °$ ．

（1）填空： $∠ A =$ 　　度， $∠ B =$ 　　度；

（2）求隧道 $AB$ 的长度（结果精确到1米）．

（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

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