已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为 $AB$ 边上的一点，以 $AD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $CG ⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，交 $AE$ 于点 $H$ ，过点 $E$ 的弦 $EP$ 交 $AB$ 于点 $Q (EP$ 不是直径），点 $Q$ 为弦 $EP$ 的中点，连结 $BP$ ， $BP$ 恰好为 $⊙ O$ 的切线．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）求证： $\hat{EF} = \hat{ED}$ ．

（3）若 $\sin ∠ ABC = = \frac{3}{5}$ ， $AC = 15$ ，求四边形 $CHQE$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，连结 $AB$ ，以 $AB$ 为边在第一象限内作正方形 $ABCD$ ，直线 $BD$ 交双曲线 $y = = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 于 $D$ 、 $E$ 两点，连结 $CE$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ ．

（1）求双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 和直线 $DE$ 的解析式．（2）求 $ΔDEC$ 的面积．

端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：

（1）本次参加抽样调查的居民有　　人．

（2）喜欢 $C$ 种口味粽子的人数所占圆心角为　　度．根据题中信息补全条形统计图．

（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃 $D$ 种粽子的有　　人．

（4）若有外型完全相同的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是 $A$ 种粽子的概率．

阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} (a_{1} \neq 0$ ， $a_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $c_{1}$ 是常数）与 $y = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} (a_{2} \neq 0$ ， $a_{2}$ 、 $b_{2}$ 、 $c_{2}$ 是常数）满足 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 的旋转函数，小明是这样思考的，由函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 可知， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = - 3$ ， $c_{1} = 1$ ，根据 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，求出 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的旋转函数．

（2）若函数 $y = 5 x^{2} + (m - 1) x + n$ 与 $y = - 5 x^{2} - nx - 3$ 互为旋转函数，求 ${(m + n)}^{2020}$ 的值．

（3）已知函数 $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 关于原点的对称点分别是 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ，试求证：经过点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的二次函数与 $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ 互为“旋转函数”．

新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买 $A$ 、 $B$ 两种花苗．据了解，购买 $A$ 种花苗3盆， $B$ 种花苗5盆，则需210元；购买 $A$ 种花苗4盆， $B$ 种花苗10盆，则需380元．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种花苗的单价分别是多少元？

（2）经九年级一班班委会商定，决定购买 $A$ 、 $B$ 两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 $B$ 种花苗， $B$ 种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？