如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x4与y轴交于A点-优题课

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题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线 $C_{1} : y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 过A、B两点，与x轴另一交点为C．

（1）求抛物线解析式及C点坐标．

（2）向右平移抛物线C₁，使平移后的抛物线C₂恰好经过△ABC的外心，抛物线C₁、C₂相交于点D，求四边形AOCD的面积．

（3）已知抛物线C₂的顶点为M，设P为抛物线C₁对称轴上一点，Q为抛物线C₁上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质二次函数图象与几何变换待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 2 ab + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \div \frac{a^{2} - ab}{a} - \frac{2}{a + b}$ ，其中 $a$ ， $b$ 满足 ${(a - 2)}^{2} + \sqrt{b + 1} = 0$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x < 5 x + 6 \\ \frac{x + 1}{6} ⩾ \frac{x - 1}{2} \end{matrix}$ ，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．

计算： ${(- 1)}^{2019} + {(- 2)}^{- 2} + {(3.14 - π)}^{0} - 4 \cos 30 ° + | 2 - \sqrt{12} |$

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $A (0, 2)$ ，动点 $P$ 在 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 的图象上运动（不与 $O$ 重合），连接 $AP$ ．过点 $P$ 作 $PQ ⊥ AP$ ，交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $AQ$ ．

（1）求线段 $AP$ 长度的取值范围；

（2）试问：点 $P$ 运动的过程中， $∠ QAP$ 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．

（3）当 $ΔOPQ$ 为等腰三角形时，求点 $Q$ 的坐标．

已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，其图象与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C (0, 3)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $P$ ．

①如图1，若 $l / / y$ 轴，且与线段 $AC$ 及抛物线分别相交于点 $E$ ， $F$ ，点 $C$ 关于直线 $x = 1$ 的对称点为点 $D$ ，求四边形 $CEDF$ 面积的最大值；

②如图2，若直线 $l$ 与线段 $BC$ 相交于点 $Q$ ，当 $ΔPCQ ∽ ΔCAP$ 时，求直线 $l$ 的表达式．

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