如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，1），取-优题课

先化简，再求值： $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot \frac{y}{x + y} - 1$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ， $y = 2$ ．

计算： ${(\frac{1}{4})}^{- 1} + | - 1 | - \sqrt{3} \tan 60 °$ ．

如图，半径为4的 $⊙ O$ 中，弦 $AB$ 的长度为 $4 \sqrt{3}$ ，点 $C$ 是劣弧 $\hat{AB}$ 上的一个动点，点 $D$ 是弦 $AC$ 的中点，点 $E$ 是弦 $BC$ 的中点，连接 $DE$ 、 $OD$ 、 $OE$ ．

（1）求 $∠ AOB$ 的度数；

（2）当点 $C$ 沿着劣弧 $\hat{AB}$ 从点 $A$ 开始，逆时针运动到点 $B$ 时，求 $ΔODE$ 的外心 $P$ 所经过的路径的长度；

（3）分别记 $ΔODE$ ， $ΔCDE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当 $S_{1}^{2} - S_{2}^{2} = 21$ 时，求弦 $AC$ 的长度．

我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“ $H$ 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“ $H$ 点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）在下列关于 $x$ 的函数中，是“ $H$ 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“ $\sqrt$ ”，不是“ $H$ 函数”的打“ $\times$ ”．

① $y = 2 x ($ 　　 $)$ ；

② $y = \frac{m}{x} (m \neq 0) ($ 　　 $)$ ；

③ $y = 3 x - 1 ($ 　　 $)$ ．

（2）若点 $A (1, m)$ 与点 $B (n, - 4)$ 是关于 $x$ 的“ $H$ 函数” $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的一对“ $H$ 点”，且该函数的对称轴始终位于直线 $x = 2$ 的右侧，求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值或取值范围．

（3）若关于 $x$ 的“ $H$ 函数” $y = a x^{2} + 2 bx + 3 c (a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）同时满足下列两个条件：① $a + b + c = 0$ ，② $(2 c + b - a) (2 c + b + 3 a) < 0$ ，求该“ $H$ 函数”截 $x$ 轴得到的线段长度的取值范围．

在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 为 $DC$ 边上一点，把 $ΔADE$ 沿 $AE$ 翻折，使点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上的点 $F$ ．

（1）求证： $ΔABF ∽ ΔFCE$ ；

（2）若 $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $AD = 4$ ，求 $EC$ 的长；

（3）若 $AE - DE = 2 EC$ ，记 $∠ BAF = α$ ， $∠ FAE = β$ ，求 $\tan α + \tan β$ 的值．