【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝B-优题课

位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道 $MP$ 上架设测角仪，先在点 $M$ 处测得观星台最高点 $A$ 的仰角为 $22 °$ ，然后沿 $MP$ 方向前进 $16 m$ 到达点 $N$ 处，测得点 $A$ 的仰角为 $45 °$ ．测角仪的高度为 $1.6 m$ ．

（1）求观星台最高点 $A$ 距离地面的高度（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$ ；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6 m$ ．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋 $500 g$ ，与之相差大于 $10 g$ 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：

$[$ 收集数据 $]$ 从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位： $g)$ 如下：

甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486

502 503 498 497 491 500 505 502 504 505

乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498

502 503 501 490 501 502 511 499 499 501

$[$ 整理数据 $]$ 整理以上数据，得到每袋质量 $x (g)$ 的频数分布表．

质量

频数

机器

$485 ⩽ x < 490$

$490 ⩽ x < 495$

$495 ⩽ x < 500$

$500 ⩽ x < 505$

$505 ⩽ x < 510$

$510 ⩽ x < 515$

甲

2

4

7

4

1

乙

1

3

5

7

3

1

$[$ 分析数据 $]$ 根据以上数据，得到以下统计量．

统计量

机器

平均数

中位数

方差

不合格率

甲

499.7

501.5

42.01

$b$

乙

499.7

$a$

31.81

$10 %$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 1$ ．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点是 $A (1, 3)$ ，将 $OA$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $OB$ ，点 $B$ 恰好在抛物线上， $OB$ 与抛物线的对称轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 是线段 $AC$ 上一动点，且不与点 $A$ ， $C$ 重合，过点 $P$ 作平行于 $x$ 轴的直线，与 $ΔOAB$ 的边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，将 $ΔAMN$ 以直线 $MN$ 为对称轴翻折，得到△ $A' MN$ ，设点 $P$ 的纵坐标为 $m$ ．

①当△ $A' MN$ 在 $ΔOAB$ 内部时，求 $m$ 的取值范围；

②是否存在点 $P$ ，使 $S_{△ A' MN} = \frac{5}{6} S_{△ OA' B}$ ，若存在，求出满足条件 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $P$ 是 $\hat{BC}$ 的中点，过点 $P$ 作 $AC$ 的垂线，交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $OP$ ．

（1）求证： $DP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 5$ ， $\sin ∠ APC = \frac{5}{13}$ ，求 $AP$ 的长．