如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D-优题课

如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知 $OA ＝ OB ， CA ＝ CB ， DE ＝ 10, DF ＝ 6$ ．

（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；② $∠ FDC ＝ ∠ EDC$ ；

（2）求CD的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：垂径定理切线的判定

麦积山石窟是世界文化遗产，国家 $AAAAA$ 级旅游景区，中国四大石窟之一．在2018年中国西北旅游营销大会暨旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．

（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

（2）若每件工艺品按此进价进货、标价销售，商家每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是 $AB$ 延长线上的一点，过点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线，切点为 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求证： $∠ BAC = ∠ BCP$ ．

（2）若点 $P$ 在 $AB$ 的延长线上运动， $∠ CPA$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D$ ，你认为 $∠ CDP$ 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出 $∠ CDP$ 的大小．

天水市“最美女教师”刘英为抢救两名学生，身负重伤．社会各界纷纷为她捐款，某校2000名学生也积极参加了此捐款活动．捐款金额有5元、10元、15元、20元、25元共五种．为了了解捐款情况，学校随机抽样调查了部分学生的捐款情况，并根据捐款金额和人数绘制了如下统计图（图①和图② $)$ ．请根据所给信息解答下列问题．

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　人，图①中 $m$ 的值是　　．

（2）根据样本数据，请估计该校在本次活动中捐款金额为10元的学生人数．

如图所示，在平面直角坐标系中，直线 $y = x - 1$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限内相交于点 $B (m, 1)$

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $y = x - 1$ 向上平行移动后与反比例函数在第一象限内相交于点 $C$ ，且 $ΔABC$ 的面积为4，求平行移动后的直线的解析式．

超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点 $C$ 处，如图所示，直线 $l$ 表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的 $A$ 处向 $B$ 处匀速行驶，用时5秒．经测量，点 $A$ 在点 $C$ 的北偏西 $60 °$ 方向上，点 $B$ 在点 $C$ 的北偏西 $45 °$ 方向上．

（1）求 $A$ 、 $B$ 之间的路程（精确到0.1米）；

（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米 $/$ 小时的限制速度？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

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