如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝-优题课

题文

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且 $BD ＝ BC$ ，延长AD到E，且有 $∠ EBD ＝ ∠ CAB$ ．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若 $BC = \sqrt{3}$ ， $AC = 5$ ，求圆的直径AD及切线BE的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行线分线段成比例圆周角定理相似三角形的判定与性质三角形的外接圆与外心切线的判定

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为落实“垃圾分类”，环卫部门要求：垃圾要按 $A$ ， $B$ ， $C$ 三类分别装袋、投放，其中 $A$ 类指废电池，过期药品等有毒垃圾， $B$ 类指剩余食品等厨余垃圾， $C$ 类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．

（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是 $A$ 类的概率；

（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $O$ 是边 $AC$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径的圆分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $E$ ， $D$ ，在 $BC$ 的延长线上取点 $F$ ，使得 $BF = EF$ ， $EF$ 与 $AC$ 交于点 $G$ ．

（1）试判断直线 $EF$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $OA = 2$ ， $∠ A = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积．

某校计划成立学生社团，要求每一位学生都选择一个社团，为了了解学生对不同社团的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个学生社团”问卷调查，规定每人必须并且只能在“文学社团”、“科学社团”、“书画社团”、“体育社团”和“其他”五项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两个不完整的统计图表．

社团名称	人数
文学社团	18
科技社团	$a$
书画社团	45
体育社团	72
其他	$b$

请解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）在扇形统计图中，“书画社团”所对应的扇形圆心角度数为　；

（3）若该校共有3000名学生，试估计该校学生中选择“文学社团”的人数．

一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．

（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；

（2）求两次摸到的球的颜色不同的概率．

如图1，在四边形 $ABCD$ 中，如果对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，　　一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 、 $Q$ 分别是等角线四边形 $ABCD$ 四边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ 的中点，当对角线 $AC$ 、 $BD$ 还要满足　　时，四边形 $MNPQ$ 是正方形．

（2）如图2，已知 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $BC = 3$ ， $D$ 为平面内一点．

①若四边形 $ABCD$ 是等角线四边形，且 $AD = BD$ ，则四边形 $ABCD$ 的面积是　　；

②设点 $E$ 是以 $C$ 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形 $ABED$ 是等角线四边形，写出四边形 $ABED$ 面积的最大值，并说明理由．

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