如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x-优题课

题文

如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，矩形 $OABC$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 的坐标是 $(5, 2)$ ，点 $P$ 是 $CB$ 边上一动点（不与点 $C$ 、点 $B$ 重合），连接 $OP$ 、 $AP$ ，过点 $O$ 作射线 $OE$ 交 $AP$ 的延长线于点 $E$ ，交 $CB$ 边于点 $M$ ，且 $∠ AOP = ∠ COM$ ，令 $CP = x$ ， $MP = y$ ．

（1）当 $x$ 为何值时， $OP ⊥ AP$ ？

（2）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（3）在点 $P$ 的运动过程中，是否存在 $x$ ，使 $ΔOCM$ 的面积与 $ΔABP$ 的面积之和等于 $ΔEMP$ 的面积？若存在，请求 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：坐标与图形性质相似三角形的判定与性质矩形的性质

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“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米?
（2）专家建议：从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值.

一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

化简：

重庆市“创建文明城市”活动如火如荼的展开.重庆一中为了搞好“创建文明城市”活动的宣传，校学生会就本校学生对重庆市“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如下图所示的不完整的条形统计图（A：59分及以下；B：60—69分；C：70—79分；D：80—89分；E：90—100分），其中C占总人数的30%，D占总人数的35%.请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）请将条形统计图补充完整；
（2）其中男生小明、小刚和女生小红、小兰测试成绩为E,学校决定从这4名同学中选两名代表参加市级比
赛，请你用画树状图或列表格的方法求出所选两名同学恰为一男一女的概率．

如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，AB=DE．求证：AC∥DF．

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