一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海-优题课

一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

计算： ${(- 1)}^{2021} + | 2 - \sqrt{2} | - 2 \cos 60 ° + \sqrt{8}$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线 $l : y = kx + 3$ 经过点 $A$ ，点 $P$ 为直线 $l$ 上的一个动点，且位于 $x$ 轴的上方，点 $Q$ 为抛物线上的一个动点，当 $PQ / / y$ 轴时，作 $QM ⊥ PQ$ ，交抛物线于点 $M$ （点 $M$ 在点 $Q$ 的右侧），以 $PQ$ ， $QM$ 为邻边构造矩形 $PQMN$ ，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为 $D$ ，在（2）的条件下，当矩形 $PQMN$ 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 $F$ ，使得 $∠ CBF = ∠ DQM$ ？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $D$ 为 $AB$ 的中点，连接 $CD$ ，将线段 $CD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $α (60 ° < α < 120 °)$ 得到线段 $ED$ ，且 $ED$ 交线段 $BC$ 于点 $G$ ， $∠ CDE$ 的平分线 $DM$ 交 $BC$ 于点 $H$ ．

（1）如图1，若 $α = 90 °$ ，则线段 $ED$ 与 $BD$ 的数量关系是　　， $\frac{GD}{CD} =$ 　　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $CF / / DE$ 交 $DM$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ， $BE$ ．

①试判断四边形 $CDEF$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{BE}{FH} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

（3）如图3，若 $AC = 2$ ， $\tan (α - 60 °) = m$ ，过点 $C$ 作 $CF / / DE$ 交 $DM$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ， $BE$ ，请直接写出 $\frac{BE}{FH}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高 $BC = 80 m$ ，坡面 $AB$ 的坡度 $i = 1 : 0.7$ （注：坡度 $i$ 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点 $C$ 、 $A$ 与河岸 $E$ 、 $F$ 在同一水平线上，从山顶 $B$ 处测得河岸 $E$ 和对岸 $F$ 的俯角分别为 $∠ DBE = 45 °$ ， $∠ DBF = 31 °$ ．

（1）求山脚 $A$ 到河岸 $E$ 的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽 $EF$ 的长度．（结果精确到 $0.1 m)$

（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60)$

星期天，小明与妈妈到离家 $16 km$ 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走， $1 h$ 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．

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