已知抛物线与 $x$轴交于 $A(6,0)$、 $B(-\frac{5}{4}$， $0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，过抛物线上点 $M(1,3)$作 $\mathit{MN}\perp x$轴于点 $N$，连接 $\mathit{OM}$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，将 $\mathit{\Delta OMN}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位 $(0⩽t⩽5)$到△ $O\text{'}M\text{'}N\text{'}$的位置， $M\text{'}N\text{'}$、 $M\text{'}O\text{'}$与直线 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$．

①当点 $F$为 $M\text{'}O\text{'}$的中点时，求 $t$的值；

②如图2，若直线 $M\text{'}N\text{'}$与抛物线相交于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}//M\text{'}O\text{'}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，试确定线段 $\mathit{EH}$是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题