如图，抛物线yax2bx4交x轴于A(−3,0)，B(4,0-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．点 $P$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点 $P$ 作 $PM ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $PM$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ．试探究点 $P$ 在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点 $P$ 作 $PN ⊥ BC$ ，垂足为点 $N$ ．请用含 $m$ 的代数式表示线段 $PN$ 的长，并求出当 $m$ 为何值时 $PN$ 有最大值，最大值是多少？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题