如图，已知等腰ΔABC顶角∠A36°．（1）在AC上作一点D-优题课

如图，已知等腰 $ΔABC$ 顶角 $∠ A = 36 °$ ．

（1）在 $AC$ 上作一点 $D$ ，使 $AD = BD$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；

（2）求证： $ΔBCD$ 是等腰三角形．

科目数学题型解答题难度中等

如图所示，在四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BD$ 于点 $E$ ， $CF ⊥ BD$ 于点 $F$ ， $AE = CF$ ， $BE = DF$ ．求证：

（1） $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）四边形 $ABCD$ 是平行四边形．

如图，动点 $M$ 在以 $O$ 为圆心， $AB$ 为直径的半圆弧上运动（点 $M$ 不与点 $A$ 、 $B$ 及 $\hat{AB}$ 的中点 $F$ 重合），连接 $OM$ ．过点 $M$ 作 $ME ⊥ AB$ 于点 $E$ ，以 $BE$ 为边在半圆同侧作正方形 $BCDE$ ，过点 $M$ 作 $⊙ O$ 的切线交射线 $DC$ 于点 $N$ ，连接 $BM$ 、 $BN$ ．

（1）探究：如图一，当动点 $M$ 在 $\hat{AF}$ 上运动时；

①判断 $ΔOEM ∽ ΔMDN$ 是否成立？请说明理由；

②设 $\frac{ME + NC}{MN} = k$ ， $k$ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

③设 $∠ MBN = α$ ， $α$ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

（2）拓展：如图二，当动点 $M$ 在 $\hat{FB}$ 上运动时；

分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

已知抛物线的解析式为 $y = - \frac{1}{20} x^{2} + bx + 5$ ．

（1）当自变量 $x ⩾ 2$ 时，函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减少，求 $b$ 的取值范围；

（2）如图，若抛物线的图象经过点 $A (2, 5)$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于 $B$ ．

①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ PAB = ∠ ABC$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $A (3, 1)$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若一次函数 $y = ax + 6 (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．

某游乐场部分平面图如图所示， $C$ 、 $E$ 、 $A$ 在同一直线上， $D$ 、 $E$ 、 $B$ 在同一直线上，测得 $A$ 处与 $E$ 处的距离为80 米， $C$ 处与 $D$ 处的距离为34米， $∠ C = 90 °$ ， $∠ ABE = 90 °$ ， $∠ BAE = 30 °$ ． $(\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

（1）求旋转木马 $E$ 处到出口 $B$ 处的距离；

（2）求海洋球 $D$ 处到出口 $B$ 处的距离（结果保留整数）．