如图1所示，在ΔABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与A-优题课

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题文

如图1所示，在 $ΔABC$ 中，点 $O$ 是 $AC$ 上一点，过点 $O$ 的直线与 $AB$ ， $BC$ 的延长线分别相交于点 $M$ ， $N$ ．

【问题引入】

（1）若点 $O$ 是 $AC$ 的中点， $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{CN}{BN}$ 的值；

温馨提示：过点 $A$ 作 $MN$ 的平行线交 $BN$ 的延长线于点 $G$ ．

【探索研究】

（2）若点 $O$ 是 $AC$ 上任意一点（不与 $A$ ， $C$ 重合），求证： $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CO}{OA} = 1$ ；

【拓展应用】

（3）如图2所示，点 $P$ 是 $ΔABC$ 内任意一点，射线 $AP$ ， $BP$ ， $CP$ 分别交 $BC$ ， $AC$ ， $AB$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，若 $\frac{AF}{BF} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{BD}{CD} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AE}{CE}$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质相似形综合题

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今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的 $A$ ， $B$ 两种树苗，每捆 $A$ 种树苗比每捆 $B$ 种树苗多10棵，每捆 $A$ 种树苗和每捆 $B$ 种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵 $A$ 种树苗和每棵 $B$ 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．

（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？

（2）如果购进的这批树苗共5500棵， $A$ 种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进 $A$ 种树苗和 $B$ 种树苗各多少棵？并求出最低费用．

为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为： $A$ "剪纸"、 $B$ "沙画"、 $C$ "葫芦雕刻"、 $D$ "泥塑"、 $E$ "插花"．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为　　；统计图中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱"葫芦雕刻"的学生人数．

解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{1}{2} x + 1 < 7 - \frac{3}{2} x, \\ \frac{3 x - 2}{3} ⩾ \frac{x}{3} + \frac{x - 4}{4}, \end{matrix}$ 并写出它的所有整数解．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $AB = AC$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $BC$ ， $CD$ 上， $BE = CG$ ， $AF$ 平分 $∠ EAG$ ，点 $H$ 是线段 $AF$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $ΔAEH ≅ ΔAGH$ ；

（2）当 $AB = 12$ ， $BE = 4$ 时．

求 $ΔDGH$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $AC$ 的中点，是否存在直线 $OH$ 将 $ΔACE$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1 : 3$ ．若存在，请求出 $\frac{AH}{AF}$ 的值；若不存在，请说明理由．

我们把方程 ${(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = r^{2}$ 称为圆心为 $(m, n)$ 、半径长为 $r$ 的圆的标准方程．例如，圆心为 $(1, - 2)$ 、半径长为3的圆的标准方程是 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ ．在平面直角坐标系中， $⊙ C$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(8, 0)$ ，与 $y$ 轴相切于点 $D (0, 4)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线的顶点为 $E$ ．

（1）求 $⊙ C$ 的标准方程；

（2）试判断直线 $AE$ 与 $⊙ C$ 的位置关系，并说明理由．

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